「现代计算机图形学入门」几何
1. 几何表示
隐式：点与点之间满足的关系，如 球体方程：\(x^2+y^2+z^2=1\)、\(f(x,y,z)=0\)
缺点：很难知道几何长啥样；优点：容易判定一个是否在表面上/内/外；
如：代数方程、构造立体几何法（Constructive Solid Geometry，通过简单几何做运算）、距离函数（SDF）、分形（Fractals 自相似）
显式：所有点直接给出，或者通过参数映射的方法。如 \(f:R^2 \rightarrow R^3; (u,v) \rightarrow (x,y,z)\)
缺点：判断点在不在表面上/内/外很难；优点：知道所有的点；
如：点云、多边形网格（Polygon Mesh）、obj文件等。
根据问题的需要选择表示方法！
应用：Camera path、Vector Fonts
2. 曲线
2.1 Bezier曲线
性质： （1）Bezier曲线起点在 \(p_0\)，终点在 \(p_3\) 上；
（2）Bezier曲线在首位端点处的切向量是首尾边的 \(n\) 倍；
（3）仿射变换性质：对控制点做仿射变换后的Bezier曲线还是一样；
（仿射变换是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间）
（4）凸包性：Bezier曲线一定在控制点形成的凸包内；
2.2 de Casteljau Algorithm
\(b_0^1(t) = (1-t)b_0 + tb_1\) \(b_1^1(t) = (1-t)b_1 + tb_2\) \(b_0^2(t) = (1-t)b_0^1 + tb_1^1\)
\(b_0^2(t)=(1-t)^2b_0+2t(1-t)b_1+t^2b_2\)
2.3 通用代数形式
2.4 逐段的Bezier曲线
习惯用每四个点确定一个Bezier曲线、
而如何使分段Bezier曲线连续？即上一段曲线的的终止点作为新曲线的起始点，
上一段曲线的终止切向量的取反作为新曲线的起始切向量。
\(C^0\) 连续：只要两段曲线起始、终止点在一起。
\(C^1\) 连续：两端曲线起始、终止切线连续。
3. 曲面
3.1 Bezier曲面
可视化三次Bezier曲线
如何表示Bezier曲面上的一个点？
用一个（u,v）坐标，u 控制四个Bezier曲线运动的过程（即时间t）, v 控制运动的Bezier曲线的运动的过程。
3.2 网格操作：几何处理
网格细分、网格简化、网格正规化（不出现特别尖、长的三角形）
3.2.1 网格细分(Mesh Subdivision / upsampling)
细分是要：1. 分出更多的三角形；2. 让这些三角形的位置发生一点变化，使得形状更光滑些；
Loop Subdivision
第一步，将每个三角形分成四个；
第二步，对新的顶点和旧的顶点分别移动位置让模型变得更加光滑；
Catmull-Clark Subdivision（General Mesh）
每一个细分步骤：
- 在每个面里取一个点
- 在每个边上取其中点
- 连接所有顶点
只要在一个非四边形内点上一个点，由于要和它的其他变相连，这个点就是奇异点（点的度不为4）
也就是说，非四边形面在一次细分之后，都会变成奇异点（不再存在非四边形面），再次细分后奇异点不会再增加。
3.2.2 网格简化(Mesh Simplification/downsampling)
edge collapsing（边坍缩）
思想：找到一条边，边有两个顶点，然后一捏，这个边就不存在了。
需要捏哪些边？ \(\rightarrow\) 方法：Quadric Error Metrics（二次误差度量）
